Hukum-Hukum Kepler

Hukum-hukum Kepler yang nampak begitu sederhana, ternyata tidak dihasilkan dengan mudah bahkan melalui kerja puluhan tahun. Prosesnya diawali dengan perancangan dan pembangunan fasilitas pengukuran koordinat benda langit raksasa yang disebut “quadrant” oleh Tycho Brahe. Dengan alat itu Tycho Brahe dapat melakukan pengukuran posisi benda langit dengan kecermatan melebihi alat lain di zamannya. Johannes Kepler (1571 – 1630) dapat menyusun hukumnya berdasarkan tumpukan data catatan hasil pengamatan Tycho Brahe yang memiliki kecermatan yang tinggi. Selama 25 tahun data dikumpulkan oleh Tycho Brahe yaitu data tinggi dan azimuth enam planet dari Merkurius hingga Saturnus. Data yang dikumpulkan oleh Tycho kemudian diolah, dianalisis dan diinterpretasikan oleh asistennya seorang ahli matematika Jerman yaitu Kepler setelah ia meninggal.
Hasil analisis Kepler terhadap data Tycho Brahe menunjukkan adanya perbedaan kecil tapi jelas dan mengandung keteraturan tertentu antara posisi planet yang diamati dengan yang dihitung dengan teori Ptolemeus atau Copernicus. Mengapa perbedaan ini tidak diketahui pada pengamatan sebelum zaman Tycho Brahe? Karena pengukuran sebelumnya tidak menggunakan alat yang akurat, sedangkan Tycho Brahe menggunakan “quadrant” alat ukur koordinat benda langit yang paling teliti saat itu. Sebelumnya, untuk mensinkronkan agar hasil pengamatan itu bisa cocok dengan teori heliosentris Copernicus, diperlukan epicycle yaitu lingkaran-lingkaran kecil yang merupakan komponen kedua lintasan orbit planet selain orbit utamanya yang berupa lingkaran yang berpusat di Matahari. Mengapa planet bisa bergerak dalam lingkaran kecil epicycle ? Tidak ada penjelasan.

Kepler menemukan kenyataan bahwa data posisi planet-planet yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe itu lebih cocok jika orbit planet diperkenankan berbentuk elips dengan Matahari sebagai pusatnya. Dengan cara demikian, gerak planet-planet dapat dipahami dengan lebih sederhana, tidak diperlukan lagi epicycle-epicycle. Temuan ini kemudian diformulasikan oleh Kepler sebagai :
Planet-planet mengelilingi Matahari dalam orbit elips, dengan Matahari berada pada salah satu titik apinya.
Pernyataan ini kemudian terkenal sebagai Hukum Kepler I. Analisis lebih lanjut menunjukkan bahwa kecepatan anguler sebuah planet mengelilingi matahari juga berubah menurut waktu. Pada saat planet lebih jauh dari Matahari gerak orbitnya lebih lambat, dan pada saat planet lebih dekat kecepatannya lebih tinggi. Hal ini kemudian dirumuskan dalam bentuk lebih kuantitatatif sebagai Hukum Kepler II yaitu :
Garis hubung Matahari – Planet menyapu daerah yang sama untuk selang waktu yang sama.
Luas seluruh elips adalah πab, yang ditempuh dalam waktu P, sehingga luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah
L = πab/P
dengan a setengah sumbu panjang, b setengah sumbu pendek dan P periode. Sumbu a dan b berhubungan dengan eksentrisitas sebagai berikut :
b² = a²(1-e²)
Berdasarkan pengamatan bahwa semakin jauh planet dari Matahari periode orbitnya semakin panjang, dan didukung dengan data pengamatan yang sangat banyak, diperolehlah hubungan antara sumbu panjang orbit planet dan periodenya sebagai berikut :
Setengah sumbu panjang orbit pangkat tiga berbanding lurus dengan periode pangkat dua
a³ = kT²
Pernyataan ini terkenal dengan sebutan hukum Kepler III
Harga k ini, pada awalnya belum diketahui tapi nilainya sama untuk keenam planet yang diamati. Hukum-hukum Kepler ini diperoleh secara empirik dari sifat keteraturan data posisi planet. Dapat dibayangkan sulitnya memperoleh kesimpulan seperti itu dengan cara coba-coba dari data. Tetapi menurunkan rumus hukum-hukum  ini menjadi mudah setelah Newton menemukan hukum atau teori tentang gerak, gravitasi dan kalkulus jauh setelah Kepler meninggal dunia. Bahkan kemudian konstanta-konstanta yang ada pada hukum Kepler dapat diperjelas sebagai berikut :
Luas daerah yang disapu oleh garis hubung matahari-planet tiap satuan waktu :
½ r² dθ /dt = ½ √ ( GMo a(1-e)), Mo adalah massa Matahari
Dengan r dan dθ /dt  berturut-turut adalah jarak Matahari-Planet dan kecepatan sudut orbit pada suatu saat tertentu. Harga k pada hukum Kepler di atas adalah :
k = G Mo / 4 π²
1.      Jarak Planet Merkurius pada titik perihelionnya adalah 0,341 SA dari Matahari dan setengah sumbu panjangnya adalah 0,387 SA. Luas daerah yang disapunya dalam satu periode adalah :
a.     0,467 SA²
b.     0,312 SA²
c.     0,104 SA²
d.     0,213 SA²
e.     0,621 SA²
Jawab:
Pada Majalah Astronomi Vol 1 no 3 hal 25, telah dijelaskan tentang rumus jarak perihelion : a(1-e), dengan demikian dapat diperoleh eksentrisitas orbit Merkurius : 0,119. Dengan rumus b²=a²(1-e²)
Dapat diperoleh b = 0,384
Luas elips : πab = 0,467 SA²
2.   Callisto merupakan bulannya planet Jupiter, mengedari planet Jupiter pada jarak 1,88 juta km dan dengan periode 16,7 hari. Apabila massa Callisto diabaikan karena jauh lebih kecil daripada massa Jupiter, maka massa planet Jupiter adalah …
a.     10,35 × 10^-4 massa Matahari
b.     9,35 × 10^-4 massa Matahari
c.     8,35 × 10^-4 massa Matahari
d.     7,35 × 10^-4 massa Matahari
e.     6,35 × 10^-4 massa Matahari
Jawab:
Jika massa Jupiter dinyatakan dalam massa Matahari, jarak dalam SA, 1,88 juta km = 0.0125 SA waktu dalam tahun, 16,7 hari = 0.0457 tahun, hukum Kepler untuk satelit-satelit Jupiter dapat dinyatakan sebagai :
a³/T² = Mj/Mo, Mj adalah massa Jupiter dan Mo massa Matahari dan T adalah periode satelit Jupiter.
Dengan demikian diperoleh M_j = 9,35 × 10^-4 massa Matahari
3.      Jika jarak terdekat komet Halley ke Matahari adalah 8,9 x 10¹⁰ meter, dan periodenya 76 tahun, maka eksentrisitasnya adalah :  
a. 0,567
b. 0,667
c. 0,767
d. 0,867
e. 0,967

Jawab:
Dengan Hukum Kepler III dapat diperoleh setengah sumbu panjang orbit komet Halley:  a³=76²
Maka  a = 17,94 SA
Jarak perihelion : 8,9 x 10¹⁰ meter = 0,593 SA = a(1-e)
Maka   e = 0.967
4.      Sebuah pesawat ruang angkasa mengelilingi Bulan dengan orbit yang berupa lingkaran dengan radius orbit 1737 km dan dengan periode orbit sebesar 2 jam. Apabila gaya gravitasi yang disebabkan Bulan pada pesawat ruang angkasa ini sama dengan gaya sentrifugalnya, maka massa Bulan yang ditentukan berdasarkan kedua gaya ini adalah ..... (G = 6,67 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2)
a. 5,98 x 10²⁶ kg
b. 5,98 x 10²⁴ kg
c. 5,98 x 10²² kg
d. 5,98 x 10²⁰ kg
e. Masa bulan tidak bisa ditentukan dengan cara ini
Jawab:
Radius orbit : 1737 km = 1737000 m (mengorbit dekat dengan permukaan bulan)
Periode orbit 2 jam = 7200 detik
Gaya sentrifugal (=sentripetal) = gaya gravitasi bulan
ω²r = GM_bln/r^{2 ,} M_bln adalah massa bulan
M_bln = 4 π ² r ³ /GT² = 5,98 x 10²² kg
Soal ini bisa juga dijawab dengan hukum Kepler III